線性同構（Linear Isomorphism）在數學物理領域中，我們討論向量空間的同構性。向量空間 V 與 W 被認為是同構的，記為 V ～= W，當且僅當存在一個雙射且線性映射 T: V ?→ W，即 T 是可逆的線性映射。如果 T 為向量空間 V 的自同態且可逆，則稱其為 V 的自同構，同構集記為 GL(V )。通過這一定義，我們探索兩個看似不同的向量空間在結構上可能存在相似性，例如，實數域上的二維向量空間 C 與線性空間 R2 存在同構關系。舉例說明，映射 T: C ?→ R2 定義為 T(x + iy) = (x, y)，該映射是線性映射且為單射、滿射，表明集合 C 和 R2 在線性結構下同構。然而，必須注意的是，兩個集合的同構性取決于它們的結構是否相同。例如，C 的元素擁有乘法運算，而 R2 并不具備這一性質。因此，在不同結構下，兩個集合可能不具備同構性。在有限維向量空間的背景下，等距映射 T 的同構性尤為顯著。定理 2.4.1 闡明，有限維向量空間 V 的等距映射 T 同時作為自同態和等距映射時，T 為雙射線性映射，進而滿足同構的定義。證明基于 T 的性質，即 T 是單射、雙射，最終證明 T 是同構。此外，定理 2.4.2 表明，滿射線性映射 T: V ?→ W 為同構的充分必要條件是其零化度為零向量。定理 2.4.3 指出，單射線性映射 T 將一組線性無關的向量映射到另一組線性無關的向量，體現了同構在保持線性無關性方面的特性。定理 2.4.4 強調了有限維向量空間同構性的關鍵要素：兩個有限維向量空間為同構的必要且充分條件是它們具有相同的維數。通過一組基的對應關系，證明了這一結論。定理 2.4.5 探討了自同構在不變量子空間之間的關系，表明如果 V1 是不變量子空間，則 V2 也必然是不變量的。這一定理反映了同構在保持子空間結構不變性方面的重要性。最后，例 2.4.1 提供了維度定理的另一種證明方法，通過線性映射 T′: V ?→ W，展示了如何在同構背景下證明等價類的代表關系和映射的同構性。這一證明方法不僅加深了對同構概念的理解，還展示了同構在解決數學問題中的實際應用。