首先，需要明確的是，函數在一點處的導數和該點處導函數的極限是兩個不同的概念。前者是直接通過導數定義得出的，而后者則是先利用求導公式得到導函數的表達式，再求該點處的極限。通常情況下，兩者并不相等。例如，對于函數f(x)=x^2*sin(1/x)，在x=0處的導數為0，但其導函數在x=0處的極限并不存在。然而，在大多數情況下，這兩個概念是相等的，這正是由導數極限定理保證的。導數極限定理指出：如果f(x)在x0的某個領域內連續，在x0的去心鄰域內可導，且導函數在x0處的極限存在（等于a），則f(x)在x0處的導數也存在，并且等于a。這個定理的重要性在于，它允許我們不事先要求f在x0處可導，而根據導函數的極限存在來推斷該點可導。這意味著，如果在某點導函數的極限存在，那么在該點導函數一定是連續的，這是大多數函數不具備的性質。通過利用函數的連續性求函數的極限，可以簡化計算。如果f(x)是初等函數，且x0在其定義區間內，那么計算x0處的極限，只需計算對應的函數值即可。對于含有根號的情況，通常采用有理化分子或分母的方法。此外，通過兩個重要極限以及無窮小的性質，也可以求出函數的極限。性質1表明有界函數與無窮小的乘積仍然是無窮?。恍再|2指出常數與無窮小的乘積同樣是無窮?。恍再|3說明有限個無窮小相加、相減及相乘仍然是無窮小。對于分段函數的極限，求其極限的充要條件是：左右極限均存在且相等。此外，還可以利用導數極限定理來判斷分段函數的連續性和可導性。這些方法在解決實際問題時非常有用。