實變函數是工科及高師院校數學專業的核心課程之一，它旨在通過調整數學分析的內容，使其更好地服務于對現實世界的深入研究。相較于傳統的以區間和連續函數為主要研究對象，實變函數將研究范圍拓寬至點集和可測函數，這為更廣泛類型的函數分析提供了理論基礎。在實變函數中，極限的概念得到了深化和擴展，使得在討論函數分析性質時，不再局限于一致收斂和一致連續等嚴格的條件，從而在研究過程中獲得了更大的靈活性。更重要的是，勒貝格積分取代了黎曼積分，使數學家在處理函數積分問題時擁有了更強的工具和更廣泛的適用性。實變函數的學習和應用不僅增強了數學分析的理論深度，還為現代數學的各個分支提供了更為合理和便捷的分析工具，為數學的現代化進程奠定了堅實的基礎。通過引入更廣泛的函數類型和更靈活的分析方法，實變函數為解決復雜的數學問題提供了新的視角，推動了數學理論和應用的不斷進步。例如，在概率論、泛函分析和偏微分方程等領域，實變函數的概念和方法都扮演著核心角色。它不僅幫助數學家更好地理解這些領域的基本原理，還促進了這些領域與其他學科的交叉融合，推動了科學和技術的發展。因此，實變函數不僅是數學分析的一個重要組成部分，也是現代數學研究不可或缺的基礎工具，對于培養學生的數學思維能力和創新能力具有重要意義。