n階方陣可進(jìn)行對(duì)角化的充分必要條件是：

1.n階方陣存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

推論：如果這個(gè)n階方陣有n個(gè)不同的特征值,那么矩陣必然存在相似矩陣

2.如果階n方陣存在重復(fù)的特征值,每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重 復(fù)次數(shù)現(xiàn)在從矩陣對(duì)角化的過(guò)程中,來(lái)說(shuō)說(shuō)這個(gè)條件是怎么來(lái)的.

在矩陣的特征問(wèn)題中,特征向量有一個(gè)很好的性質(zhì),即Aa=λa.

假設(shè)一種特殊的情形,A有n個(gè)不同的特征值λi,即Aai=λi*ai.令矩陣P=[a1 a2 ... an]

這樣以來(lái)AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B,其中B是對(duì)角陣.

B＝

λ1 0 0 ...

0 λ2 0 ...

... ... ... ...

0 0 0 λn

由于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的,那么P是可逆矩陣,將上面等式換一種描述就是A＝P*B*P-1 ,這也就是A相似與對(duì)角陣B定義了.在這個(gè)過(guò)程中,A要能對(duì)角化有兩點(diǎn)很重要：

P是怎么構(gòu)成的?P由n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組成,并且向量來(lái)自A的特征向量空間.

P要滿足可逆.什么情況下P可逆?

矩陣可對(duì)角化的條件,其實(shí)就是在問(wèn)什么情況下P可逆?

如果A由n個(gè)不同的特征值,1個(gè)特征值－對(duì)應(yīng)1個(gè)特征向量,那么就很容易找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,讓他們組成P；

但是如果A有某個(gè)λ是個(gè)重根呢?比如λ＝3,是個(gè)3重根.我們 知道對(duì)應(yīng)的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.如果λ＝3找不到3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,那么A就不能對(duì)角化了,這是因?yàn)槟茏孉對(duì)角化的P矩陣不存在.

擴(kuò)展資料：

設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對(duì)角化，就是確定一個(gè)對(duì)角矩陣D及一個(gè)可逆方陣P，使M=PDP-1。設(shè)f為典范對(duì)應(yīng)于M的Kn的自同態(tài)，將M對(duì)角化，就是確定Kn的一個(gè)基，使在該基中對(duì)應(yīng)f的矩陣是對(duì)角矩陣。

對(duì)角矩陣是指只有主對(duì)角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個(gè)n×n矩陣??，如果對(duì)于??，則該矩陣為對(duì)角矩陣。如果存在一個(gè)矩陣??使??的結(jié)果為對(duì)角矩陣，則稱矩陣?將矩陣??對(duì)角化。對(duì)于一個(gè)矩陣來(lái)說(shuō)，不一定存在將其對(duì)角化的矩陣，但是任意一個(gè)n×n矩陣如果存在n個(gè)線性不相關(guān)的特征向量，則該矩陣可被對(duì)角化

對(duì)角矩陣(diagonal matrix)是一個(gè)主對(duì)角線之外的元素皆為0的矩陣。對(duì)角線上的元素可以為0或其他值。對(duì)角線上元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣；對(duì)角線上元素全為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。

數(shù)值分析的主要分支致力于開(kāi)發(fā)矩陣計(jì)算的有效算法，這是一個(gè)幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)的課題，是一個(gè)不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。 矩陣分解方法簡(jiǎn)化了理論和實(shí)際的計(jì)算。 針對(duì)特定矩陣結(jié)構(gòu)（如稀疏矩陣和近角矩陣）定制的算法在有限元方法和其他計(jì)算中加快了計(jì)算。

無(wú)限矩陣發(fā)生在行星理論和原子理論中。 無(wú)限矩陣的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是代表一個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣。

主條目：特征值，特征向量

n×n的方塊矩陣A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)特征向量是滿足??的標(biāo)量以及非零向量 ?。其中v為特征向量，??為特征值。

A的所有特征值的全體，叫做A的譜 ，記為??。矩陣的特征值和特征向量可以揭示線性變換的深層特性

旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個(gè)向量的時(shí)候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣不包括反演，它可以把右手坐標(biāo)系改變成左手坐標(biāo)系或反之。所有旋轉(zhuǎn)加上反演形成了正交矩陣的集合。

旋轉(zhuǎn)矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數(shù)學(xué)家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛(ài)的號(hào)碼，提高中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)。

首先您要先選一些號(hào)碼，然后，運(yùn)用某一種旋轉(zhuǎn)矩陣，將你挑選的數(shù)字填入相應(yīng)位置。如果您選擇的數(shù)字中有一些與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼一樣，您將一定會(huì)中一定獎(jiǎng)級(jí)的獎(jiǎng)。當(dāng)然運(yùn)用這種旋轉(zhuǎn)矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于復(fù)式投注的成本。

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學(xué)上涉及到的是一種組合設(shè)計(jì)：覆蓋設(shè)計(jì)。而覆蓋設(shè)計(jì)，填裝設(shè)計(jì)，斯坦納系，t-設(shè)計(jì)都是離散數(shù)學(xué)中的組合優(yōu)化問(wèn)題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求。

參考資料：百度百科-矩陣?百度百科-對(duì)角化