Ax=0 有 n-r(A) 個線性無關(guān)的解，即基礎(chǔ)解系含 n-r(A) 個向量。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計算機科學(xué)中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算。

對一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對角矩陣，有特定的快速運算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用。

在幾何光學(xué)里，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學(xué)是一種忽略了光波波動性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。

采用近軸近似（英語：paraxial approximation），假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對于光線的作用，可以表達(dá)為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質(zhì)（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面（英語：principal plane）的垂直距離）。

這矩陣稱為光線傳輸矩陣（英語：ray transfer matrix），內(nèi)中元素編碼了光學(xué)元件的性質(zhì)。對于折射，這矩陣又細(xì)分為兩種：“折射矩陣”與“平移矩陣”。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面?zhèn)鞑サ搅硪粋€主平面的平移行為。