解: 由已知 A(a1,a2,a3)=(Aa1,Aa2,Aa3)

=(2a1+a2+a3,2a2,-a2+a1)

=(a1,a2,a3)B

其中 B=

2 0 1

1 2 -1

1 0 0

由于a1,a2,a3線性無關, 所以 (a1,a2,a3)^-1A(a1,a2,a3)=B

|B-λE|=

2-λ 0 1

1 2-λ -1

1 0 -λ

= (2-λ)[-λ(2-λ)-1]

= (2-λ)(λ^2-2λ-1)

所以B的特征值為 2,*,* 后兩個是無理數(shù)。

證明：a1,a2,a3線。

擴展資料：

矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的運動方程可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統(tǒng)的解的最優(yōu)方法是將矩陣的特征向量求出（通過對角化等方式）。

稱為系統(tǒng)的簡正模式。這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統(tǒng)內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振蕩時，也需要使用簡正模式求解 。

參考資料來源：百度百科-矩陣

參考資料來源：百度百科-向量