因為A為n階可逆實矩陣，構(gòu)造非退化的線性變換Y=AX

則對任意的X≠0,必有Y≠0,

令Y=(y1,y2,...,yn)T

則XT(ATA)X=(XTAT)(AX)=(AX)T(AX)=YTY=y1^2+y2^2+...+yn^2>0

由正定矩陣的定義即知ATA是正定矩陣。

正定矩陣是一種實對稱矩陣。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩陣A(或A的轉(zhuǎn)置)稱為正定矩陣。

在線性代數(shù)里，正定矩陣 (positive definite matrix) 有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數(shù)中，正定矩陣的性質(zhì)類似復(fù)數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應(yīng)的線性算子是對稱正定雙線性形式（復(fù)域中則對應(yīng)埃爾米特正定雙線性形式）。

正定矩陣有以下性質(zhì)：

（1）正定矩陣的行列式恒為正；

（2）實對稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)A與單位矩陣合同；

（3）若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；

（4）兩個正定矩陣的和是正定矩陣；

（5）正實數(shù)與正定矩陣的乘積是正定矩陣。