證明:充分性:若任一n維向量a都可以n維向量組a1,a2,…,an線性表示,

那么,特別地,n維單位坐標(biāo)向量組也都可以由它們線性表示,

又向量組a1,a2,…,an也可由n維單位坐標(biāo)向量線性表示,

所以,向量組a1,a2,…,an與n維單位坐標(biāo)向量組等價,

而n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)組,

從而向量組a1,a2,…,an也是線性無關(guān)組.

必要性 若n維向量組a1,a2,…,an線性無關(guān),又任意n+1個n維向量必線性相關(guān),

設(shè)a是任一n維向量,則向量組a,a1,a2,…,an線性相關(guān),

故a可以由a1,a2,…,an線性表示.

1、因為任意n+1個n維向量一定線性相關(guān)，設(shè)a是任意一個n維向量，則向量組a,a1.a2…an必線性相關(guān)，又n維向量組a1.a2…an線性無關(guān)，a都可由他們線性表示。充分性。

2、若任一n維向量a都可由a1.a2…an線性表示，那么，特別的，n維單位坐標(biāo)向量組也由他們線性表示。而a1.a2…an必可由n維單位坐標(biāo)向量組線性表示，故a1.a2…an與n維單位坐標(biāo)向量組等價，而n維單位坐標(biāo)向量組線性無關(guān)，所以1.a2…an線性無關(guān)。