要判斷一個二階微分方程y+py+q=Q(n)*e^(rx)的特征根，首先要了解其特征方程z^2+pz+q=0。特征根z1和z2的性質決定了解特解的方法。

如果r不是特征方程的根，即r≠z1且r≠z2，那么特解的形式為P(n)*e^(rx)。通過將這個特解代入原方程，通過比較系數，我們可以確定P(n)的表達式。

當r等于其中一個特征根，比如r=z1且不等于z2時，我們稱r為單根。這時特解的形式變?yōu)閤P(n-1)*e^(rx)，同樣的方法，通過比較系數確定P(n-1)的值。

如果r同時等于兩個特征根z1=z2，即二重根，特解則為x^2*P(n-2)*e^(rx)。這時，將特解代入方程，通過系數的比較，可以找出P(n-2)。

微分方程，作為微積分的重要工具，廣泛應用于物理學中的各種運動問題（如阻力與速度有關的落體運動），化學、工程學、經濟學和人口統計等領域。它的發(fā)展與微積分緊密相連，如牛頓和萊布尼茨的研究中都包含了微分方程的內容。