結論是，函數(y=left(frac{arcsin(x/2)}{2} ight)^{sqrt{2}})的導數可以通過導數的計算法則得到。首先，我們可以利用三角函數的導數性質和復合函數的鏈式法則來簡化表達式。根據已知的(arcsin(x)=frac{1}{sqrt{1-x^2}})，我們可以將(y)寫為：

[

y=2cdotfrac{arcsin(x/2)}{2}cdotfrac{1}{sqrt{1-(x/2)^2}}

]

接著，進一步簡化得到：

[

y=frac{arcsin(x/2)}{sqrt{1-x^2/4}}

]

由于(sqrt{1-x^2/4})可以寫為(sqrt{(2-x^2)/4})，因此：

[

y=frac{2arcsin(x/2)}{sqrt{4-x^2}}

]

導數(y')就是這個表達式關于(x)的導數，即：

[

y'=frac{2cdotfrac{1}{2}cdotfrac{1}{sqrt{1-(x/2)^2}}cdotfrac{1}{2}cdot(x/2)}{sqrt{4-x^2}}=frac{arcsin(x/2)}{(4-x^2)^{1/2}}

]

所以，(y)的導數是(frac{2arcsin(x/2)}{(4-x^2)^{1/2}})。這個導數描述了函數在某一點附近的變化率，體現了函數曲線在該點的切線斜率。需要注意的是，并非所有函數都有導數，可導性是函數連續性的必要條件。在實際求導過程中，我們可以利用基本函數的求導法則，如線性組合、乘積、商和復合函數的法則來簡化計算。