公交車急剎車免費搭乘的大爺摔傷醫療費應該由公交公司來承擔，承運人應當對運輸過程中旅客的傷亡承擔賠償責任，不論是買票乘客還是免票、持優待票或者經承運人許可達成的無票旅客。

乘客乘坐公交車，乘客與公交公司形成合同關系，公交公司有將乘客安全運送到目的地的義務，公交車司機急剎車，導致乘客扯斷拉環摔倒，造成關節處骨折、韌帶損傷，屬于合同違約，應當承擔賠償責任；公交公司的賠償范圍有醫療費、誤工費、護理費、住院伙食補助費、交通費，需要營養的還應賠償營養費。如果造成乘客殘疾，還應當支付傷殘賠償金，按照合同違約求償的缺陷就是不支持精神損害撫慰金。

侵害公民身體造成傷害的，應當賠償醫療費、因誤工減少的收入、殘廢者生活補助費等費用，造成死亡的，并應當支付喪葬費、死者生前扶養的人必要的生活費等費用。具體情況如下：

1、醫療費，醫療費是醫治人身損害所需的治療費、藥費、住院費等；

2、誤工費，誤工費是指因誤工而減少的收入。賠償費用的標準，按照受害人的工資標準或者實際收入的數額計算；

3、交通費，交通費是指去醫院的必要交通費用。如果受害者能夠坐公共汽車、電車、火車、輪船的就不能坐出租汽車、飛機，否則不予賠償；

4、護理費，護理費是指受害者生活上不能自理需要專人護理的費用；

5、營養費，營養費是指必要的食療、滋補身體所用的費用，不包括根據診斷不需要特殊增加營養而受害人自行滋補的費用。

《中華人民共和國民法典》第八百二十三條 承運人應當對運輸過程中旅客的傷亡承擔賠償責任；但是，傷亡是旅客自身健康原因造成的或者承運人證明傷亡是旅客故意、重大過失造成的除外。

前款規定適用于按照規定免票、持優待票或者經承運人許可搭乘的無票旅客。