在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上，設點P坐標為(x0,y0)，其中y0不為0，橢圓的長軸頂點坐標為(a,0)和(-a,0)。連接P點與兩個頂點的直線斜率分別為y0/(x0-a)和y0/(x0+a)，其乘積簡化后為y0^2/(x0^2-a^2)。由于點P在橢圓上，滿足b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2，從而可以得出y0^2=b^2(a^2-x0^2)/a^2。將這個表達式代入斜率乘積，消去x0^2-a^2，我們得到一個定值，即乘積為-a^2/b^2，這個值與P點的具體坐標無關，僅依賴于橢圓本身的參數a和b。

進一步來說，橢圓可以看作圓的推廣，是具有兩個焦點且滿足特定距離和的曲線。它的形狀由偏心率決定，從圓的特殊形式（偏心率為0）到接近但不等于1的任意值。橢圓的幾何特性也延伸到了其他領域，例如，其面鏡（旋轉橢圓的180度形成）具有反射光線到焦點的特性，而橢圓透鏡則具有匯聚光線的功能，常用于制作老花鏡、放大鏡和遠視眼鏡。

總的來說，橢圓上的任意點與其長軸兩端點連線斜率乘積的定值，不僅揭示了橢圓的幾何特性，也體現了其在光學應用中的獨特作用，這個定值對于理解橢圓的性質具有重要意義。