對于給定的連續時間信號u(t+1)，其拉普拉斯變換可以通過分析其部分特性來求解。首先，注意到(t-1)u(t-1)可以看作是u(t)的拉普拉斯變換與(s-1)的乘積，而u(t)的拉普拉斯變換是1/s。利用時移定理，u(t-1)的拉普拉斯變換是e^(-s)/s。因此，u(t+1)可以分解為u(t)與u(t-1)的差，其拉普拉斯變換即為1/s減去e^(-s)/s，即F(s)=1+e^(-s)。

對于輸出信號的處理，如果輸出為Y(s)，則有Y(s)=[1-e^(-s)]/s。通過拉普拉斯變換的關系，可以得出系統的頻率響應H(s)=Y(s)/F(s)，反變換得到實際的h(t)。

特別地，當輸入為δ函數δ(t)減去δ(t-1)時，輸出為單位階躍函數u(t)，即h(t)=u(t)。這表明拉普拉斯變換在描述系統動態響應時具有直觀性。

拉普拉斯變換在實際問題中的應用廣泛，比如在處理微分方程時，相較于傅里葉變換，拉普拉斯變換通常更為直接和簡潔。在計算時，通常會利用已知函數的拉普拉斯變換表，通過變換和觀察的方式求解逆變換。

總的來說，拉普拉斯變換提供了一種強大的工具，用于分析和設計信號和系統，尤其是在信號處理和控制系統中，它扮演著關鍵角色。