二重微積分問題，“設f（x,y）在單位圓上有連續一階偏導數，且在邊界值上取值為零”這句話怎么理解？

導讀結論是，給定函數f（x，y）在單位圓x^2+y^2=1上具有連續的一階偏導數，并且邊界上的函數值為零，即f(cos(t)，sin(t))=0。這表明函數在圓周上的積分值為零，即∫0到2πf(cos(t)，sin(t))dt=0。接下來的討論涉及到函數h(x，y)=f(x，y)-g(x，y)，它在給定區域D上具有連續偏導數且恒等于零。通過分析，可以得出在點(x0，y0)在D的邊界處，如果h(x，y)的最大值或最小值不在區域內部取得，那么f(x，y)在該點的梯度等于g(x，y)的梯度。舉例中，如果f在單位圓內具有上述特性，計算特定積分時，可以利用格林公式和積分中值定理，最終得出積分的極限值，比如在f(0，0)=2008的情況下，limε→0+ε?！躼。+y?！?xxf'x+yfyx。+y。

結論是，給定函數f（x,y）在單位圓x^2+y^2=1上具有連續的一階偏導數，并且邊界上的函數值為零，即f(cos(t),sin(t))=0。這表明函數在圓周上的積分值為零，即∫0到2πf(cos(t),sin(t))dt=0。接下來的討論涉及到函數h(x,y)=f(x,y)-g(x,y)，它在給定區域D上具有連續偏導數且恒等于零。通過分析，我們可以得出在點(x0,y0)在D的邊界處，如果h(x,y)的最大值或最小值不在區域內部取得，那么f(x,y)在該點的梯度等于g(x,y)的梯度。舉例中，如果f在單位圓內具有上述特性，計算特定積分時，可以利用格林公式和積分中值定理，最終得出積分的極限值，比如在f(0,0)=2008的情況下，limε→0+ε?≤x?+y?≤1xxf'x+yfyx?+y?dxdy的結果為-4016π。