實對稱矩陣在數學中扮演著關鍵角色，因其對角化和正交對角化特性備受矚目。本文探討的核心問題是：實對稱矩陣是否一定滿秩。答案是肯定的，除非它是零矩陣。

首先，回顧實對稱矩陣的定義，即矩陣與其轉置相等（$A=A^T$），且元素為實數。這些矩陣擁有對角化的能力，其特征值構成的向量組是正交的，且對角化可以通過正交變換實現。

秩是矩陣的一個關鍵屬性，表示行向量或列向量的最大線性無關集合的元素數量。對于實對稱矩陣，其秩等于特征值的數量，因為沒有虛特征值存在。如果特征值全為非零，那么矩陣的秩就等于矩陣的階數，即滿秩。

舉例來說，考慮矩陣$$A=egin{bmatrix}1&2&3\

2&4&5\

3&5&6\

end{bmatrix}$$，其特征值為$0,1,10$，對應的特征向量線性無關，證明了矩陣是滿秩的。總結起來，實對稱矩陣滿秩的結論對于理解和解決相關問題提供了有力支持。