結(jié)論：可微、可導(dǎo)、連續(xù)、偏導(dǎo)存在以及極限存在之間存在緊密的聯(lián)系。讓我們逐個(gè)探討它們之間的關(guān)系。

首先，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微，意味著當(dāng)自變量微小變化Δx時(shí)，函數(shù)值的變化Δy可以用一個(gè)與Δx無(wú)關(guān)的常數(shù)A來(lái)近似表示，即dy≈A×Δx。若函數(shù)在這一點(diǎn)可微，那么它必然在該點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)榭蓪?dǎo)性蘊(yùn)含了連續(xù)性。

其次，可導(dǎo)性是更嚴(yán)格的要求，它意味著函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)，即[f(x0+a)-f(x0)]/a的極限存在。這不僅要求函數(shù)在點(diǎn)x0附近有定義，還要求函數(shù)在該點(diǎn)具有局部線(xiàn)性逼近的性質(zhì)。

在多元函數(shù)中，如果函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)存在且連續(xù)，那么函數(shù)在該點(diǎn)可微，這是充分條件。相反，可微是偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件。

對(duì)于實(shí)數(shù)域上的函數(shù)，若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，需要滿(mǎn)足左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)且在該點(diǎn)連續(xù)，否則只能說(shuō)明函數(shù)在該點(diǎn)可能可微，而非必然。

連續(xù)性是函數(shù)在點(diǎn)間值的保持，而不保證導(dǎo)數(shù)的存在。一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)肯定不可導(dǎo)，但連續(xù)的函數(shù)可能可導(dǎo)，也可能不可導(dǎo)。

最后，柯西數(shù)列的概念與可微和極限緊密相關(guān)，它描述了數(shù)列在收斂時(shí)的局部穩(wěn)定性，這在分析函數(shù)的性質(zhì)時(shí)起到關(guān)鍵作用。

總的來(lái)說(shuō)，這些概念間的關(guān)聯(lián)顯示了數(shù)學(xué)分析中的細(xì)微差別和層次結(jié)構(gòu)，理解和掌握它們對(duì)于深入研究數(shù)學(xué)分析至關(guān)重要。