當案件被移交給檢察院后，嫌疑人是否還留在看守所取決于具體情況。理論上，無論案件進度如何，只要符合條件，嫌疑人均可申請取保候審，但實踐中，最好在檢察院批準逮捕前提出。如果嫌疑人未被捕，公安機關可能會直接批準，但被捕后由公安機關批準的可能性會降低。一旦被逮捕并移交給檢察院，取保候審的可能性就更小了，除非有特殊情況。

取保候審的決定權在公安機關、檢察院或法院，根據《刑事訴訟法》的規定，申請通常由嫌疑人、被告人、法定代理人或近親屬提出，被捕者則可由律師代為申請。申請需采用書面形式，接收機構在7天內作出決定，同意取保候審需經負責人批準并簽發相關文書。若不符合條件，會告知申請人并說明理由。司法機關有權自行決定取保候審的適用情況。

總的來說，取保候審的申請與案件階段和具體情況緊密相關，盡早合理申請是關鍵。申請人需了解詳細流程并按照法律規定進行操作。