1. A是正定的，因此存在正交陣C使得：A=C'DC，這里D是由A的特征值組成的對角矩陣（或者簡單理解為D=diag{a1,a2,a3,a4,……an}，其中|A|=a1*a2*……*an，且a1，……，an>0）。2. 考慮到B、C是行列式為1的正交陣，我們有：tr(AB)=tr(C'DCB)=tr(DCBC')=tr(DB)=a1b1+a2b2+……+anbn，這里b1……bn是B的對角線上元素。3. 引入一個性質：n階實對稱矩陣的行列式小于等于它的對角線元素之積，等式成立當且僅當這個矩陣為對角陣。4. 1/n*tr(AB)=1/n(a1b1+a2b2+……+anbn)≥(a1b1a2b2……anbn)^(1/n)=det(A)^(1/n)*(b1b2b3……bn)^(1/n)≥det(A)|B|^(1/n)=det(A)，等號成立當且僅當B為對角陣。得證。附：上述性質的證明設A=（a_i,j）是n階實對稱陣，證明|A|≤a11*a22*……*ann。記X=diag{√a11,√a22,……,√ann}，則B=X'AX是n階實對稱正定矩陣，B的對角線元素是1，tr(B)=n（特征值均為正的）。|B|=B的特征值之積≤(B的特征值之和/n)^n（H?lder不等式）?？紤]到特征值之和等于方陣的跡，tr(B)=n，|B|≤1，即|X'AX|≤1，化簡得到|A|≤a11*a22*……*ann。