對于微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = 6x^2 \)，首先我們要解對應的齊次方程的特征方程。特征方程為 \( \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \)，解這個方程得到特征根 \( \lambda_1 = \lambda_2 = 2 \)。因此，齊次方程的特解形式為 \( y_h = c_1x^2 + c_2x + c_3 \)。由于原非齊次方程的自由項 \( f(x) = 6x^2 \) 可以拆分為 \( f(x) = 4x^2 + 2x^2 \)，我們可以分別考慮這兩項對應的非齊次方程。對于第一項 \( 4x^2 \)，由于它不是齊次方程的特征方程的根，我們需要找到一個特解 \( y_1 \)。由于 \( \lambda = 0 \) 不是特征方程的根，我們可以設特解為 \( y_1 = ax^2 + bx + c \)。對于第二項 \( 2x^2 \)，由于 \( \lambda = 2 \) 是齊次方程的特征方程的二重根，我們需要找到一個特解 \( y_2 \)。特解可以設為 \( y_2 = dx^2e^{2x} \)。根據疊加原理，原非齊次方程的特解 \( y_p \) 可以表示為 \( y_p = y_1 + y_2 \)。將 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 的形式代入非齊次方程，我們可以得到 \( a \)、\( b \)、\( c \) 和 \( d \) 的值，從而得到原非齊次方程的特解。最終，原非齊次方程的特解形式為 \( y_p = c_1x^2 + c_2x + c_3 + dx^2e^{2x} \)，其中 \( c_1 \)、\( c_2 \)、\( c_3 \) 和 \( d \) 是待定常數，需要通過解相應的非齊次方程來確定。