1. 對于函數 \( y = \arctan(x) \)，其導數可以通過換元法來求解。2. 設 \( x = \tan(y) \)，則 \( y = \arctan(x) \) 可以表示為 \( y = \arctan(\tan(y)) \)。3. 對 \( y \) 求導，根據鏈式法則，我們有 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(y)} \cdot \frac{dy}{dy} \)。4. 由于 \( \frac{dy}{dy} = 1 \)，我們可以簡化導數為 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(y)} \)。5. 但是，我們需要將結果轉換回原始的變量，即 \( x \)。因此，將 \( y \) 替換回 \( \arctan(x) \)。6. 我們得到 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(\arctan(x))} \)。7. 使用三角恒等式 \( \cos^2(\arctan(x)) = \frac{1}{1 + x^2} \)，我們可以進一步簡化導數。8. 因此，\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} \)。9. 這表明 \( \arctan(x) \) 的導數是 \( \frac{1}{1 + x^2} \)。10. 擴展資料中提到的求導法則，如線性組合、乘積、商和復合函數的鏈式法則，都是求解復雜函數導數的基石。