1. 以方程（4.13）為例，我們來探討Boltzmann變換的基本思想。通過引入新變量，我們可以將地下水運動方程中的水頭H（x，t）隨空間變化的偏導數表示為：2. 同樣，地下水運動方程中水頭隨時間變化的偏導數可以表示為：3. 通過這樣的變換，方程（4.13）可以轉化為地下水運動方程。由于此時只有一個自變量φ，我們稱之為Boltzmann空間。這種變換將（x，t）空間的問題轉換為Boltzmann空間的問題，使得求解更為方便。4. 令地下水運動方程，則方程（4.74）可以簡化為一個簡單的常微分方程：5. 該方程的通解為：6. 代入方程（4.75），我們得到另一個常微分方程：7. 其通解可以表示為：8. 因此，利用Boltzmann變換，我們可以輕松得到上述偏微分方程的通解。9. 根據誤差函數erf（u）和余誤差函數erfc（u）的性質，上述通解還可以表示為：10. 需要注意的是，只有控制方程、初始條件、邊界條件三者均能向Boltzmann空間轉換，才能使用Boltzmann變換進行求解。11. 此外，使用以下變量，我們也可以對上述偏微分方程進行變換，這被稱為修正的Boltzmann變換（Bear，1972）：