雙曲線的焦半徑及其應用：定義為雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，稱為雙曲線的焦半徑。焦半徑公式通過雙曲線的第二定義推導，設雙曲線為 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，左右焦點分別為\(F_1\)、\(F_2\)。利用第二定義得到，對于焦點在x軸上的雙曲線，焦半徑公式為\(|MF_1|=a+ex, |MF_2|=a-ex\)。同樣地，對于焦點在y軸上的雙曲線，焦半徑公式為\(|MF_1|=a+ey, |MF_2|=a-ey\)。其中\(e\)為離心率，\(x, y\)為雙曲線上點M的坐標。值得注意的是，雙曲線的焦半徑公式與橢圓的焦半徑公式的一個關鍵區別在于帶絕對值符號。若要去絕對值，則需對點M的位置進行具體分析。上述兩種形式的區別可以簡單記憶為“左加右減，上減下加”。在橢圓情形下，焦半徑公式分別為\(|PF_1|=a+ex_0, |PF_2|=a-ex_0\)。若焦點在x軸上，橢圓的左、右焦半徑分別為\(|PF_1|=a+ex_0, |PF_2|=a-ex_0\)。若焦點在y軸上，橢圓的下、上焦半徑分別為\(|PF_1|=a+ey_0, |PF_2|=a-ey_0\)。在求解焦點弦長時，焦半徑公式具有重要應用。例如，若需計算橢圓上一點P(x0，y0)與焦點F連結的線段PF的長度，可利用橢圓的第二定義直接計算，得到PF的長度為\(a+ex_0\)或\(a-ex_0\)，具體取決于P點的位置。通過上述公式推導，可以更好地理解和應用焦半徑公式于實際問題中。焦半徑公式的靈活運用有助于解決更多復雜問題，如雙曲線與橢圓的綜合應用、焦半徑在幾何證明中的重要性等。