在三角形ΔAB中,已知三邊長(zhǎng)度分別為a、b、c,以及三個(gè)角的比例關(guān)系:∠A:∠B:∠C=4:2:1。我們要證明的是:1/c = 1/a + 1/b。以下是三種不同的證明方法:第一種證明方法是三角證法。根據(jù)題意,我們可以得出∠A=4π/7, ∠B=2π/7, ∠C=π/7。利用正弦定理及恒等式,我們可以推導(dǎo)出sin(3π/7)= sin(4π/7), sin(2π/7)=2 sin(π/7) cos(π/7)。接著,我們可以計(jì)算1/sin(4π/7) + 1/sin(2π/7)的值,發(fā)現(xiàn)它等于1/sin(π/7),而sin(π/7)恰好是c的對(duì)邊長(zhǎng)度,因此我們可以得出1/a + 1/b = 1/c。證明完畢。第二種證明方法是代數(shù)證法。根據(jù)倍角三角形定理,我們可以得出∠A=2∠B,這意味著a^2=b(b+c)。同樣地,∠B=2∠C,意味著b^2=c(a+c)。將這兩個(gè)等式相加,我們可以得到a^2=c(a+b+c)。由此,我們可以推導(dǎo)出1/c=(a+b+c)/a^2=(b+c)/a^2+1/a=1/b+1/a。證明完畢。第三種證明方法是幾何證法。這里我們運(yùn)用托勒密定理來(lái)證明。首先,在ΔABC的外接圓上,我們?cè)贐C的優(yōu)弧上取一點(diǎn)D,使得BD=AD。連接BD、AD和CD,顯然有AD=AC和CD=BC。根據(jù)托勒密定理,我們有AD*BC=AB*CD+BD*AC。將已知的邊長(zhǎng)代入,我們可以得到ba=ca+cb。最后,我們將等式兩邊同時(shí)除以abc,即可得到所證明的結(jié)論。