在探討矩陣多項式的Smith對角型時，我們首先將一個給定的矩陣多項式P(x)化簡至Smith對角型diag{d_1(x),d_2(x),...,d_r(x),0,...,0}，其中每個d_i都整除d_{i+1}。這里，d_1(x),...,d_r(x)即為不變因子。進一步地，這些不變因子在某個給定的域上進行因式分解后，形如p(x)^k的因子就是初等因子。例如，如果d_r=p_1(x)^{e_r1}...p_m(x)^{e_rm}；...；d_1=p_1(x)^{e_11}...p_m(x)^{e_1m}，其中p_i(x)是兩兩不同的不可約多項式，每個e_ij都非負，則所有e_ij>0對應的因子p_i(x)^{e_ij}即為初等因子。不變因子和初等因子之間的關系也值得一提。首先，假設n級矩陣A的不變因子為上述形式，將它們分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，則其中對應于某一次因式的那些方冪即為A的全部初等因子。我們注意到，不變因子之間有一個除盡的關系，即d_i整除d_{i+1}。因此，屬于同一個一次因式的方冪的指數呈現遞升趨勢。基于上述性質，我們可以通過初等因子和矩陣的級數來唯一地構造不變因子。具體而言，設一個n級矩陣的全部初等因子已知，然后在不足n個時補上適當個數的1，使得總數湊成n。接著，根據初等因子的排列順序，我們可以推斷出不變因子的分解形式。最后，我們總結了不變因子和初等因子之間的關系。如果兩個同級的數字矩陣有相同的初等因子，那么它們一定有相同的不變因子，從而相似。反之，如果兩個矩陣相似，則它們必然擁有相同的不變因子和初等因子。這種分析方法為從初等因子出發，唯一地確定不變因子提供了一個清晰的步驟，對于理解矩陣多項式的結構具有重要意義。