亞洲流經國家最多的河流是湄公河，歐洲流經國家最多的河流是多瑙河。

首先，關于亞洲流經國家最多的河流，那就是湄公河。湄公河發源于中國青海省，沿途流經緬甸、老撾、泰國等多個國家，最后在越南注入南海。因其流經的國家眾多，湄公河在亞洲的河流中顯得尤為突出。

其次，歐洲流經國家最多的河流是多瑙河。多瑙河發源于德國，流經奧地利、捷克、匈牙利等多個國家，最后流入黑海。多瑙河是歐洲的第二長河，也是歐洲最重要的內陸航道之一。由于其在歐洲大陸的獨特地位，多瑙河流經的國家數量也是歐洲之最。

最后，需要指出的是，這些河流之所以流經如此多的國家，與其地理特征和流域范圍有關。例如，湄公河流域地勢復雜，涵蓋了多個國家的領土；多瑙河流經歐洲多個國家的平原地區，因其流域的共享性而自然成為多國之間的紐帶。這些河流不僅具有重要的地理意義，同時也是各國之間經濟、文化交流的橋梁。