微分方程中，我們探討了通解的概念。問題如下：y'-y=5。我們首先分析一個基礎方程：y'-y=0。通過求解此方程，我們得到y'=y，進而得到\(\frac{dy}{y}=dx\)。由此得出\(\ln|y|=x+\ln|c|\)，簡化后得到\(y=ce^x\)。接下來，我們設原方程y'-y=5的解為\(y=ue^x\)，其中u是x的函數。對\(y=ue^x\)求導，得到\(y'=u'e^x+ue^x\)。將\(y'=u'e^x+ue^x\)代入原方程，得到\(u'e^x+ue^x-ue^x=5\)，化簡后得到\(u'e^x=5\)。兩邊同時乘以\(e^{-x}\)，得到\(du=5e^{-x}dx\)。對上式積分，得到\(u=-5e^{-x}+c\)。將\(u=-5e^{-x}+c\)代入\(y=ue^x\)，得到\(y=ce^x-5e^{-x}+c(-5e^{-x})\)。簡化后，最終得到方程y的通解為\(y=ce^x-5\)。這個過程展示了如何通過變量分離和積分的方法求解一階線性微分方程。在求解過程中，我們利用了已知的一階線性微分方程的基本解法，并通過引入新的函數u，將原方程轉化為可分離變量的形式，從而簡化求解過程。這個例子不僅展示了微分方程的求解方法，還強調了變換和化簡的重要性。通過這個過程，我們可以看到，即使面對看似復雜的微分方程，通過適當的變換和數學技巧，仍然可以找到其通解。在微分方程的學習中，掌握這些基本方法對于理解和解決更多復雜的方程至關重要。這個解法不僅適用于這個特定的方程，還可以推廣到更廣泛的數學領域，如物理學和工程學中的應用。理解這些概念和方法，對于深入學習微分方程以及相關領域的知識具有重要意義。