我是上海交通大學的一名本科生。以下內容是根據我在課堂上的筆記和教材整理的。請按照順序，逐步理解并練習題目，以便更好地理解和記憶概念。請注意何時討論方陣，何時討論矩陣。1. 矩陣的等價定義：存在可逆矩陣P和Q，使得 \(PAQ = B\)。即通過有限次的初等行變換，矩陣A可以轉化為矩陣B。性質：同型性、同秩性、同標準形；自反性、傳遞性、反身性。注：經過初等變換的意思是P和Q都可以表示為初等矩陣的乘積。2. 矩陣的相似(1) 兩個方陣A和B相似定義：存在可逆矩陣P，使得 \(P^{-1}AP = B\)。P被稱為A到B的相似變換陣。性質：具有相同的特征多項式、相同的特征值、相同的行列式、相同的跡、相同的秩；特殊的等價性：自反性、傳遞性、反身性；A的逆與B的逆相似；A的伴隨矩陣與B的伴隨矩陣相似；如果存在多項式g(x)，則方陣 \(g(A)\) 與 \(g(B)\) 相似。(2) 矩陣的相似對角化定義：存在可逆矩陣P，使得 \(P^{-1}AP = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)\)。方陣A能相似對角化的充要條件：①A有n個線性無關的特征向量；②對每一個特征值都有代數重數等于幾何重數。推論：①對角矩陣主對角線的值為方陣A的特征值λ，P的列向量為A的特征向量ξ，且λ與ξ的次序一一對應；②A的n個特征值互不相同（方陣A能相似對角化的充分非必要條件）；與單位矩陣相似的矩陣仍為單位矩陣。3. 矩陣的合同定義：存在可逆矩陣P，使得 \(P^TAP = B\)。P被稱為合同變換陣。性質：A與B同型、同秩、同正慣性指數；特殊的等價性：自反性、傳遞性、反身性；如果A正定，則B也正定。與單位矩陣合同的矩陣是同階的所有正定矩陣。附：我們學校的教材和相關的輔導書非常好，每個人都應該有三本輔導書。我推薦使用以下教材：- 《線性代數》（第二版），科學出版社，上海交通大學數學系編。網易公開課上有MIT教授講解線性代數，數形結合做得非常好。國內教材在這方面普遍不足，過于注重解題技巧，其中包括清華（其實他們的輔導書《線性代數學習指南》在我們這里口碑還是不錯的），當然還有上海交大。歡迎報考上海交通大學！^_^