將ln(x^2+x+1)展開為x的冪級數，首先需要了解ln(1+x)的泰勒展開式。我們知道ln(1+x)可以表示為x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5……的級數形式。接下來，我們通過一個巧妙的方法來展開ln(x^2+x+1)。注意到(x^2+x+1)可以寫成(1-x^3)/(1-x)的形式，即有1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)。由此，可以得到ln(1+x+x^2)與ln(1-x^3)和ln(1-x)之間的關系，即ln(1+x+x^2)=ln(1-x^3)-ln(1-x)。接下來，我們需要化簡這個表達式。將ln(1-x)代入其泰勒級數形式，得到ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-x^5/5……。而ln(1-x^3)同樣可以表示為其泰勒級數形式，即ln(1-x^3)=-x^3-x^6/2-x^9/3-x^12/4-x^15/5……。因此，我們有ln(1+x+x^2)=(-x^3-x^6/2-x^9/3-x^12/4-x^15/5……)-(-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-x^5/5……)。將上面的級數進行化簡，可以得到ln(1+x+x^2)的冪級數形式。具體化簡過程如下：ln(1+x+x^2)=-x^3-x^6/2-x^9/3-x^12/4-x^15/5……+x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+x^5/5……通過合并同類項，我們得到ln(1+x+x^2)的冪級數展開式。經過化簡后，可以得到ln(1+x+x^2)的冪級數為x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5……+x^2/2+x^3/3+x^4/4+x^5/5……-x^3-x^6/2-x^9/3-x^12/4-x^15/5……。這樣，我們就可以得到ln(1+x+x^2)的冪級數展開式，即ln(1+x+x^2)=x-2x^3/2+2x^4/4-2x^5/5……+O(x^6)。這個展開式對于x的值在(-1,1)范圍內是有效的。通過這個展開式，我們可以方便地計算ln(x^2+x+1)的近似值，特別是在x接近0時，這個展開式可以提供一個很好的近似結果。