梯度下降法的工作原理是從初始點出發，沿著負梯度方向逐步逼近極小值點。這種方法每次迭代都僅考慮局部信息，因此每一步的方向和步長都是根據當前梯度決定的。這種策略雖然簡單直觀，但其主要局限在于缺乏對整體最優解的全局視角，容易陷入局部極小值。相比之下，牛頓法則利用了二階導數信息，它通過解方程來直接確定每一步的方向和步長。這種方法的目標是直接到達最優解，而不需要像梯度下降法那樣通過反復迭代逼近。牛頓法之所以能在某些情況下表現出更快的收斂速度，是因為它能夠更準確地估計函數的曲率，從而在每一步都能更精確地判斷出最優解的方向。盡管牛頓法在理論上具有較高的效率，但它的實際應用效果還取決于二階導數的計算和求解精度。如果二階導數難以準確計算或求解，牛頓法可能會遇到困難。此外，牛頓法還可能遇到目標函數不具有二階導數的情況，或者二階導數為零的情形，這些都會影響其性能。總結來說，梯度下降法和牛頓法各有優劣，梯度下降法適用于計算復雜度較低的問題，而牛頓法則在某些優化問題中展現出更快的收斂速度，尤其是在目標函數具有明確的二次項時。然而，牛頓法的高效性并不是無條件的，它同樣需要滿足一定的條件才能發揮其優勢。詳情