19. 解：解法一：(1) 因?yàn)?|AB| + |AF2| + |BF2| = 8，即 |AF1| + |F1B| + |AF2| + |BF2| = 8，又 |AF1| + |AF2| = |BF1| + |BF2| = 2a，所以 4a = 8，a = 2。又因?yàn)?e = 12，即 ca = 12，所以 c = 1，所以 b = a2 - c2 = 3。故橢圓E的方程是 x2/4 + y2/3 = 1。(2) 由 y = kx + m 和 x2/4 + y2/3 = 1，得 (4k2 + 3)x2 + 8kmx + 4m2 - 12 = 0。因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x?, y?)，所以 m ≠ 0 且 Δ = 0，即 64k2m2 - 4(4k2 + 3)(4m2 - 12) = 0，化簡(jiǎn)得 4k2 - m2 + 3 = 0。(*)此時(shí) x? = -4km/(4k2 + 3) = -4km，y? = kx? + m = 3m，所以 P(-4km, 3m)。由 x = 4，y = kx + m 得 Q(4, 4k + m)。假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上。設(shè)M(x?, 0)，則 MP → · MQ → = 0 對(duì)滿足(*)式的m、k恒成立。因?yàn)?MP → = -4km - x?，3m，MQ → = (4 - x?, 4k + m)，由 MP → · MQ → = 0，得 -16km + 4kx?m - 4x? + x?? + 12km + 3 = 0，整理，得 (4x? - 4)km + x?? - 4x? + 3 = 0。(**)由于(**)式對(duì)滿足(*)式的m,k恒成立，所以 4x? - 4 = 0，x?? - 4x? + 3 = 0，解得 x? = 1。故存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M。解法二：(1) 同解法一。(2) 由 y = kx + m 和 x2/4 + y2/3 = 1，得 (4k2 + 3)x2 + 8kmx + 4m2 - 12 = 0。因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x?, y?)，所以 m ≠ 0 且 Δ = 0，即 64k2m2 - 4(4k2 + 3)(4m2 - 12) = 0，化簡(jiǎn)得 4k2 - m2 + 3 = 0。(*)此時(shí) x? = -4km/(4k2 + 3) = -4km，y? = kx? + m = 3m，所以 P(-4km, 3m)。由 x = 4，y = kx + m，得 Q(4, 4k + m)。假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上。取 k = 0，m = 3，此時(shí) P(0, 3)，Q(4, 3)，以PQ為直徑的圓為 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4，交x軸于點(diǎn) M?(1, 0)，M?(3, 0)；取 k = -1/2，m = 2，此時(shí) P(-1, 3/2)，Q(4, 0)，以PQ為直徑的圓為 (x - 5/2)2 + (y - 3/2)2 = 45/16，交x軸于點(diǎn) M?(1, 0)，M?(4, 0)。所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則M的坐標(biāo)必為(1,0)。以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：因?yàn)镸的坐標(biāo)為(1,0)，所以 MP → = -4km - 1，3m，MQ → = (3, 4k + m)，從而 MP → · MQ → = -12km - 3 + 12km + 3 = 0，故恒有MP → ⊥ MQ →，即存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M。