在探討矩陣A的可逆性及其逆矩陣的判定過程中，我們首先可以觀察到一個重要的等式：AA* = A*A = |A|E，這里的A*是A的伴隨矩陣，E是單位矩陣。通過這個等式，我們可以進(jìn)一步推導(dǎo)出(A/|A|)A* = E。這一步驟意味著我們已經(jīng)得到了一個形式上類似于逆矩陣定義的表達(dá)式AB = BA = E，其中A/|A|可以被視為矩陣A的一個候選逆矩陣。根據(jù)逆矩陣的基本定義，如果存在矩陣B使得AB = BA = E，則稱B為A的逆矩陣。因此，在上述推導(dǎo)中，我們已經(jīng)證明了A/|A|滿足這一條件，即A的逆矩陣可以表示為A*/|A|。進(jìn)一步地，我們還介紹了矩陣行列式的基本性質(zhì)，即|aA| = a^n |A|，其中n表示行列式的階數(shù)。利用這一性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出|A^(-1)| = |A*|/|A|^n，從而得到|A|^n |A^(-1)| = |A*|。通過觀察|A| |A^(-1)| = 1，我們可以進(jìn)一步得出|A|^(n-1) = |A*|。這意味著，如果矩陣A的行列式不為零（即|A| ≠ 0），那么A是可逆的，其逆矩陣A*也是可逆的。這一結(jié)論揭示了矩陣A和其逆矩陣A*之間可逆性的直接聯(lián)系。在實際應(yīng)用中，這為我們提供了一種有效的方法來判斷一個矩陣及其逆矩陣的可逆性。