遞歸不單調數列怎么證明存在極限又要怎么求
遞歸不單調數列怎么證明存在極限又要怎么求
接下來需要證明極限的存在性，即證明lim a[n] = x，即lim (a[n]-x) = 0。可以通過構造一個遞推關系來實現，比如證明|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|(0<；q<；1)。這樣可以確保數列收斂于x。進一步地，為了證明這個結論，可以使用數學歸納法。假設我們已經證明了對于某個n，有|a[n]-x|≤q^(n-1)|a[1]-x|，接下來證明n+1時也成立。即證明|a[n+1]-x|≤q^n|a[1]-x|。利用遞推關系a[n+1]=f(a[n])和|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|，可以得到|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|≤q*q^(n-1)|a[1]-x|=q^n|a[1]-x|，從而完成證明。
導讀接下來需要證明極限的存在性，即證明lim a[n] = x，即lim (a[n]-x) = 0。可以通過構造一個遞推關系來實現，比如證明|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|(0<；q<；1)。這樣可以確保數列收斂于x。進一步地，為了證明這個結論，可以使用數學歸納法。假設我們已經證明了對于某個n，有|a[n]-x|≤q^(n-1)|a[1]-x|，接下來證明n+1時也成立。即證明|a[n+1]-x|≤q^n|a[1]-x|。利用遞推關系a[n+1]=f(a[n])和|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|，可以得到|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|≤q*q^(n-1)|a[1]-x|=q^n|a[1]-x|，從而完成證明。
這類題目一般求解極限較為直接，首先求極限，再證明極限存在。若給定遞推公式為a[n+1]=f(a[n])，求極限時只需解方程x=f(x)，則x即為所求極限值。接下來需要證明極限的存在性，即證明lim a[n] = x，即lim (a[n]-x) = 0。可以通過構造一個遞推關系來實現，比如證明|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|(0
遞歸不單調數列怎么證明存在極限又要怎么求
接下來需要證明極限的存在性，即證明lim a[n] = x，即lim (a[n]-x) = 0。可以通過構造一個遞推關系來實現，比如證明|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|(0<；q<；1)。這樣可以確保數列收斂于x。進一步地，為了證明這個結論，可以使用數學歸納法。假設我們已經證明了對于某個n，有|a[n]-x|≤q^(n-1)|a[1]-x|，接下來證明n+1時也成立。即證明|a[n+1]-x|≤q^n|a[1]-x|。利用遞推關系a[n+1]=f(a[n])和|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|，可以得到|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|≤q*q^(n-1)|a[1]-x|=q^n|a[1]-x|，從而完成證明。
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