1. 孩子們在探索世界時，總是充滿好奇心，他們喜歡提問關于風、水、云、山等自然現象的問題。雖然他們可能不完全理解這些現象背后的邏輯和原因，但他們能感受到這些規律的存在。隨著他們的探索成果逐漸豐富，好奇心有時會暫時減弱，導致他們從探索之旅中抽身離開——因為童年已經逝去。2. 大約在800年前，一位名叫萊昂納多·斐波那契的小男孩在意大利一個海關官員的家庭中出生。他是一個充滿幻想且智力超群的孩子。他的家人稱他為萊昂納多，但鎮上的人們給他起了一些帶有一點戲謔意味的昵稱，如“木頭人”，甚至他的父親也稱他為“傻瓜兒子”。斐波那契也是他的名字之一，這個名字與他一道被載入了歷史。3. 斐波那契年輕時撰寫了一部關于阿拉伯數字的著作。歐洲能夠引入這種新的數字形式，在很大程度上歸功于這部手稿。這部手稿的最后一頁提出了一個簡單的數學問題及其解答，這個問題成為了歷史上最偉大的自然謎題之一。從這個簡單的謎題中，斐波那契窺見了人類實際上只掌握了宇宙真理的一小部分。斐波那契提出的問題非常簡單：一對兔子在一年內會繁殖出多少只小兔子？前提條件有：（1）每對兔子每個月會繁殖出兩只兔子；（2）新生的兔子在出生后的第二個月開始繁殖。4. 斐波那契這樣解答了自己的問題：第1個月，兔子的數量沒有發生變化，因為最初的那對兔子還很年幼，無法生育。第1個月=1對。第2個月的時候，第二對兔子出生了。第2個月=2對。第3個月的時候，只有最初的那對兔子生育了一對兔子。第3個月=3對。到了第4個月，最初的那對兔子和它們生出來的第一對兔子也已經達到了繁殖的年齡，所以它們又各生育了一對兔子。第4個月=5對。到了第5個月的時候，最初的那對兔子和第一代生出的那對兔子都到了繁殖的年齡，各生育1對兔子，這就新增了3對兔子。第5個月=8對。以此類推，直到第12個月：第6個月=13對，第7個月=21對，第8個月=34對，第9個月=55對，第10個月=89對，第11個月=144對，第12個月=233對。按照謎題的設定，斐波那契只算到第12個月就停止了，但這個數列是可以無限延展下去的。斐波那契用公式表示了這個數列，無論是在提出這個謎題之前還是之后，斐波那契都提出了歷史上最有意義的數列之一。5. 乍看之下，數列中的數字似乎是隨機的，但你應該很快就會注意到每個數字都是前面相鄰兩個數字之和：5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，以此類推，比如數列中一個更大的數字：4181+6765=10946。6. 為了建立起斐波那契數列與現實世界的聯系，我們需要回顧一下剛剛提到的內容。正如達·芬奇所指出的那樣，樹葉（或其他植物的葉片）會盡量避免互相遮擋，以便每一片葉子都能盡可能多地接受光照。樹枝在樹干上的排列也遵循同樣的方式。大自然經過無數次嘗試，最終演化出了一種螺旋式的最佳生長模式。在新長出的枝條上，葉片會按照一條盤旋的路線向上生長，也就是說，相對于先長出的葉片，后長出的葉片的位置是螺旋向上的。葉片的數量與螺旋的緊密程度是多種多樣的，但它們在數值上總會與斐波那契數列密切相關。7. 植物的莖和枝條以及云杉球果一類的事物都呈現出螺旋狀圖樣，這是所有植物典型的生長模式。球果上的鱗片可以看成向左或向右呈螺旋狀向上生長。圖B描繪的是挪威云杉的球果，從左螺旋的方向看，有13排鱗片，從右螺旋的方向看，有21排鱗片——這兩個數字都屬于斐波那契數列。云杉的亞種往往是按鱗片排列的數目進行區分的。8. 某種植物或許有13片葉片，它們繞著莖旋轉了8圈，也可能是5圈；另一種植物可能在某個方向上有5個螺旋，反方向上有13個螺旋。各種植物都有相同的生長方式，比如松果的鱗片，樹木的枝條，灌木的刺，或是向日葵的種子。向日葵種子在花盤中央旋轉排列，可能沿某個方向排出了89排，反方向上則有144排。以上這些數字都能夠在斐波那契數列中找到。9. 圖中最大的形狀是一個等腰三角形，其頂點分別為1、2、3。如果將三角形的底邊“23”以“2”點為中心進行旋轉，直到“3”點與未轉動之前的“13”邊重合，重合點為“4”點，這就形成了另一個等腰三角形“234”。如果將新形成的三角形的底邊也進行類似的旋轉，那么這又將形成一個更小的等腰三角形“345”，以此類推，我們將會得到等腰三角形“456”“567”“678”“789”以及“8910”。這一系列點的軌跡就形成了等角螺線的切線。10. 螺旋線是一種繞中心旋轉，半徑逐漸增大的曲線（閉合圓圈的半徑是固定不變的）。半徑增加的速率決定了螺旋線的類型，而有一種類型在大自然中占據著主導地位。這種螺旋線有好幾個名稱，比如對數螺線、等角螺線，有時也被稱為黃金分割螺旋線。它的定義：曲線新增加的長度與該部分到中心極點的距離（即半徑）成正比，或者說與該螺旋線所走過的距離成特定比例。連接螺旋線上任意一點與中心的半徑和螺旋線的夾角全都相同。11. 貝殼的持續生長只能沿著外邊緣進行，這樣一來，在尺寸增加的同時，螺線的特定比例也能保持。小圖是貝殼的橫截面，我們可以從中看出貝殼生長的等角螺線。12. 這些奇妙的現象揭示了等角螺線的奇特性質，也解釋了為什么這種形式會頻繁地出現在大自然中。就像達西·湯普森所指出的那樣，在孩子長大成人的過程中，身體的各個部位都在生長，因此形貌基本能夠保持不變。人類身體的各個部位一起生長和衰老，它們存在的時間相差無幾。貝殼以及與它相關的形態是從一個點開始生長的，生長的邊線圍繞在貝殼的開口處（也被稱為衍生圓）。但這種等角螺線狀的貝殼無論是否成熟，都能夠保持特定不變的比例。成熟貝殼的材料在螺紋形成之初就已經確定了，所以貝殼的中央是最“年長”的，外邊緣是最“年輕”的。無論貝殼長到多大，等角螺線的比例永遠不變。13. 《形式的起源》并非一本只聚焦數學的科普書籍，它其實包括了機械、結構和材料領域的知識，也有地質學、生物學、材料學等學科的內容。作者Christopher Williams以獨特的思考角度向我們展現了觀察世界的另一種方式，以專業的知識向我們解釋了周圍環境中的事物為什么是如今的形式以及為何發展為現在的形式，也就是說"形勢的起源"。