設 lnx=t，則 e^t=x。原式變為 \int tde^t。使用分部積分法，原式可化為 e^t*t - \int e^tdt。將上下限0和1代入，得到結果為1。具體過程如下：首先，令 lnx=t，則有 e^t=x。因此，原積分 \int_{0}^{1} lnx dx 可以轉化為 \int_{0}^{1} tde^t。使用分部積分法，我們有：\int tde^t = e^t*t - \int e^tdt。接下來，我們需要計算積分的上下限分別為0和1時的值。首先計算 \int e^tdt：\int e^tdt = e^t。因此，原式變為 e^t*t - e^t。將上下限代入：[e^1*1 - e^1] - [e^0*0 - e^0] = 1 - 1 + 1 = 1。所以，原積分 \int_{0}^{1} lnx dx 的結果為1。分部積分法是解決這類問題的有效工具，通過適當的變量替換和分部積分技巧，可以將復雜的積分問題轉化為簡單的積分問題。通過上述過程，我們不僅得到了積分的結果，還學習了如何應用分部積分法解決對數函數與指數函數的積分問題。這種技巧在數學分析中有著廣泛的應用。詳情