在分析函數(shù)極限時，我們常遇到這樣一個問題：如果函數(shù)f(x)在某點x趨近時的絕對值極限lim|f(x)|存在，那么函數(shù)f(x)在該點的極限limf(x)是否一定存在？答案是否定的。我們可以構造一個反例來說明這一點。例如，考慮函數(shù)f(x) = sin(1/x)，當x趨近于0時，|f(x)| = |sin(1/x)|的極限存在且為0，因為-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，所以|sin(1/x)|的極限為0。然而，f(x) = sin(1/x)在x趨近于0時不存在極限，因為sin(1/x)在0附近無限震蕩。另一方面，如果limf(x)存在，那么lim|f(x)|一定存在。這是因為如果f(x)在某點x趨近時的極限為L，那么|f(x)|在該點的極限為|L|。具體來說，如果limf(x) = L，則對于任意ε > 0，存在δ > 0，使得當0 < |x - x0| < δ時，|f(x) - L| < ε。由于|f(x) - L| < ε等價于|f(x)| - |L| < ε，結合三角不等式，可以得到|f(x)| < |L| + ε。因此，當0 < |x - x0| < δ時，有||f(x)| - |L|| < ε，即lim|f(x)| = |L|。總結來說，lim|f(x)|存在并不意味著limf(x)存在，但limf(x)存在則一定意味著lim|f(x)|存在。這種差異在處理函數(shù)極限時需要特別注意，因為絕對值可以將函數(shù)的振蕩性減弱，從而使得某些原本不存在極限的函數(shù)在取絕對值后變得有界。