27．（1）由題意知，拋物線頂點N的坐標(biāo)為（1，-2）。因此，其函數(shù)關(guān)系式為y＝12(x-1)2-2，即y＝12x2-x-32。（2）由12x2-x-32＝0解得x＝-1或3，因此A（-1，0）、B（3，0）。由A（-1，0）、M（1，2）可得直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1。設(shè)P（t，t+1），則Q的坐標(biāo)為（x，12t2-t-32）。所以PQ＝(t+1)-(12t2-t-32)＝-12t2+2t+52。當(dāng)t＝2時，PQ有最大值為92，即P點運動至AC的中點時，PQ長有最大值為92。（3）符合條件的點共有3個，分別為D1(2，3)，D2(1-22，2-22)，D3(1+22，2+22)。28．（1）若0＜t≤5，則AP＝4t，AQ＝23t。則 APAQ＝4t23t＝233。又∵AO＝103，AB＝20，∴ABAO＝20103＝233。∴APAQ＝ABAO。又∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO。∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC。當(dāng)5＜t≤10時，同理可由△PCQ∽△BCO可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC。因此，在點P、Q運動過程中，始終有PQ⊥AC。（2）①如圖，在Rt△APM中，易知AM＝83t3，又AQ＝23t，QM＝203-43t。由AQ+QM＝AM得23t+203-43t＝83t3。解得t＝307。因此，當(dāng)t＝307時，點P、M、N在一直線上。②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形。設(shè)l交AC于H。如圖1，當(dāng)點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°。∴MH＝2NH，得203-43t-23t3＝2×83t3。解得t＝2。如圖2，當(dāng)點N在CD上時，若PM⊥MN，則∠HMP＝30°。∴MH＝2PH，同理可得t＝203。故當(dāng)t＝2或203時，存在以PN為一直角邊的直角三角形。