收斂函數(shù)是指當(dāng)自變量趨于無窮大（包括無窮小或無窮大）時，函數(shù)值總是逼近某一固定值，稱為函數(shù)的收斂。這種函數(shù)的自變量x是有界的，而函數(shù)值y則沒有界限。有界函數(shù)則指在某個區(qū)間內(nèi)，對于任意屬于該區(qū)間的x值，都存在一個常數(shù)M，使得函數(shù)值的絕對值總小于等于M。這意味著有界函數(shù)的函數(shù)值y是有界的，但自變量x可以無限變化。有界函數(shù)具有以下性質(zhì)：1. 單調(diào)性：閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有界，但其逆命題不成立。2. 連續(xù)性：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界，但其逆命題不成立。3. 可積性：閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界，但其逆命題不成立。4. 有界性：這是函數(shù)的基本性質(zhì)之一。5. 周期性：某些有界函數(shù)具有周期性。根據(jù)定義，如果存在正數(shù)M，對于一切x∈A都有不等式|f(x)|≤M，則稱函數(shù)f(x)在A上有界，否則則稱函數(shù)f(x)在A上無界。設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)M（L），使得對每一個x∈D有：f(x)≤M（f(x)≥L）則稱f在D上有上（下）界的函數(shù)，M（L）稱為f在D上的一個上（下）界。根據(jù)定義，f在D上有上（下）界，則意味著值域f(D)是一個有上（下）界的數(shù)集。又若M(L)為f在D上的上（下）界，則任何大于（小于）M（L）的數(shù)也是f在D上的上（下）界。根據(jù)確界原理，f在定義域上有上（下）確界。在數(shù)學(xué)中，函數(shù)的有界性是一個重要的概念，它有助于我們理解函數(shù)的行為和性質(zhì)。了解收斂函數(shù)和有界函數(shù)的區(qū)別，可以幫助我們更好地分析和解決數(shù)學(xué)問題。總之，收斂函數(shù)關(guān)注的是自變量趨于無窮時函數(shù)值的趨近情況，而有界函數(shù)則關(guān)注的是函數(shù)值的范圍限制。兩者各有特點，應(yīng)用場景也有所不同。