在探討函數y(x)=(cosx)^3的導數時，我們運用了復合函數的求導法則。此函數可以視為一個復合函數的形式，其中外部函數為u^3，內部函數為u=cosx。根據鏈式法則，我們首先對外部函數u^3求導，得到3u^2；然后對內部函數cosx求導，得到-sinx。將內部函數的導數-sinx代入外部函數的導數3u^2中，得到最終的導數表達式為3(cosx)^2*(-sinx)=-3*(cosx)^2*sinx。具體而言，y(x)=(cosx)^3，我們首先對整個函數進行分解，將其視為y=f(u)和u=g(x)的復合形式，即y=f(g(x))。這里，f(u)=u^3，g(x)=cosx。根據復合函數的求導法則，即鏈式法則，y'(x)=f'(g(x))·g'(x)。我們分步驟計算：1. 對于f(u)=u^3，其導數f'(u)=3u^2。2. 對于g(x)=cosx，其導數g'(x)=-sinx。將上述步驟結合起來，我們得到y'(x)=f'(g(x))·g'(x)=3(cosx)^2*(-sinx)=-3*(cosx)^2*sinx。這個導數表達式描述了函數y(x)=(cosx)^3在任何x點處的變化率。求導過程中的關鍵在于正確識別內外函數，并正確應用鏈式法則。通過這個例子，我們可以看到復合函數的求導不僅需要對基本的導數規則有深刻的理解，還需要靈活運用鏈式法則來處理復雜的函數形式。此外，求導的過程還揭示了三角函數之間的內在聯系。在這個特定的例子中，我們看到了cosx和sinx之間的關系在導數表達式中得到了體現，這對于深入理解三角函數的性質和應用是非常有益的。詳情