在一個直角三角形ABC中，角A為90度，且AB等于AC。在三角形ABC內部選取一點D，使得BD的長度等于AB，并且角ABD為30度。現在，我們需要證明AD的長度等于CD。首先，我們可以利用直角三角形ABC的性質。因為AB等于AC，所以角ABC和角ACB都是45度。由于角ABD為30度，那么角CBD就是15度。接下來，我們考慮三角形ABD。因為BD等于AB，所以三角形ABD是一個等腰三角形。在等腰三角形ABD中，角BAD等于角BDA。由于角ABD為30度，角BAD和角BDA各為75度。然后，我們注意到角BAD和角CAD是三角形ABC的一個內角和一個外角。由于角CAD等于角ABC減去角CBD，即45度減去15度，等于30度。因為角BAD等于75度，所以角CAD也等于30度。現在，我們考慮三角形ACD。因為角CAD等于角CAD，所以三角形ACD也是一個等腰三角形。在等腰三角形ACD中，AD等于CD。綜上所述，我們已經證明了在給定條件下，AD的長度確實等于CD的長度。