在探討lim x→ ∞ sinx/x的極限時，首先觀察到|sinx| ≤ 1，這意味著sinx是有界函數。當x → ∞時，1/x → 0，而1/x是一個無窮小量。因此，它們的乘積sinx/x的極限也是無窮小，即lim (x → ∞) sinx/x = 0。

接下來，我們來看lim x→0 sinx/x的極限。可以采用夾擠定理來解決這個問題。考慮當x接近0時，sinx的值在-1到1之間波動。同時，x也趨近于0。因此，sinx/x的值會在-1到1之間波動，但隨著x的減小，sinx/x的值逐漸趨向于1。為了更嚴謹地證明這一點，我們利用夾擠定理。

設g(x) = sinx/x，我們可以找到兩個函數f(x) = -1/x和h(x) = 1/x，它們在x → 0時的極限都是0。由于-1 ≤ sinx ≤ 1，我們可以推導出-1/x ≤ sinx/x ≤ 1/x。根據夾擠定理，當x → 0時，lim (x → 0) sinx/x = 1。

綜上所述，lim x→ ∞ sinx/x = 0，而lim x→0 sinx/x = 1。這種極限的計算體現了微積分中的重要定理和方法，如無窮小量和夾擠定理的應用。

在解決這類問題時，理解函數的性質和極限的基本定義是關鍵。通過分析函數的有界性、無窮小量以及應用適當的定理，可以有效地計算出函數的極限。

此外，sinx/x在x → 0時的極限值1還與三角函數的幾何意義有關。當x趨近于0時，sinx與x的比值可以視為單位圓上正弦線與x軸正方向夾角的正切值，當夾角趨近于0時，正切值趨近于0的正切值，即1。

在微積分的學習過程中，掌握這些極限的計算方法對于后續的學習至關重要。通過不斷練習和理解，可以更好地掌握微積分的基本概念和技巧。