在積分區(qū)域連續(xù)的情況下，二重積分可以進(jìn)行順序交換。具體而言，如果函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)，則交換積分順序不會影響積分值。這是由Fubini定理給出的。為了更具體地理解這一點，考慮二重積分\[\iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy\]其中\(zhòng)(D\)是積分區(qū)域。當(dāng)函數(shù)\(f(x,y)\)在\(D\)上連續(xù)時，根據(jù)Fubini定理，我們有\(zhòng)[\iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx = \int_{c}^qaueikeeus \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy\]這說明我們可以任意交換積分順序，且積分值不變。這里\(D\)的邊界由\(x\)和\(y\)的范圍定義，即\(a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\)或\(c \leq y \leq d, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\)。需要注意的是，F(xiàn)ubini定理的應(yīng)用不僅要求函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)，還要求積分存在。也就是說，如果函數(shù)\(f(x,y)\)在\(D\)上是連續(xù)的，則二重積分的值與積分順序無關(guān)。舉一個簡單的例子，考慮積分區(qū)域為單位正方形，即\(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\)，函數(shù)\(f(x,y) = x^2 + y^2\)。計算\[\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx = \int_{0}^{1} \left( x^2y + \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{1} \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{1}{3} \right) dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{4}{9}\]同樣的，我們也可以交換積分順序\[\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dx \right) dy = \int_{0}^{1} \left( x^3 + xy^2 \right|_{0}^{1} \, dy = \int_{0}^{1} \left( 1 + y^2 \right) dy = \left( y + \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{4}{9}\]這再次證實了二重積分在積分區(qū)域連續(xù)時，順序交換積分順序不會改變積分值。總結(jié)來說，二重積分在函數(shù)連續(xù)的條件下，積分順序可以任意交換，且積分值不變，這是Fubini定理的一個直接應(yīng)用。