在直線上選取兩點（0，0，-1）和（0，1，0），由此可得出直線的方向向量 v1=（0，1，1）。同時，已知平面 x+y+z=0 的法向量為 n1=（1，1，1）。由此，可以由 v1 和 n1 確定一個平面，該平面的法向量為 n2=v1×n1=（0，1，-1）。因此，所求的直線的方向向量為 n1×n2=（-2，1，1）。考慮到直線與平面的交點為（0，1/2，-1/2），由此可以得出所求直線的方程為 (x-0)/(-2)=(y-1/2)/1=(z+1/2)/1。進一步化簡可得 x=1-2y= -1-2z。在處理這個問題時，首先我們選取了直線上兩個具體的點，通過這兩個點可以確定直線的方向向量。接著，我們利用已知平面的法向量來確定一個與已知直線方向向量垂直的新平面，進而找到所求直線的方向向量。通過確定直線與平面的交點，我們可以得到直線的方程。這個過程涉及向量的叉乘和線性方程的化簡。具體來說，選取直線上兩點（0，0，-1）和（0，1，0）是為了方便計算直線的方向向量。方向向量 v1 由這兩個點確定，即 v1=（0，1，1）。接下來，我們利用已知平面的法向量 n1=（1，1，1）來確定一個新的平面，這個平面的法向量 n2 由 v1 和 n1 的叉乘得到，即 n2=v1×n1=（0，1，-1）。然后，我們通過 n1 和 n2 的叉乘來確定所求直線的方向向量，即 n1×n2=（-2，1，1）。最后，我們利用直線與平面的交點（0，1/2，-1/2）來確定直線的方程，化簡后得到 x=1-2y= -1-2z。這個過程展示了如何通過選取直線上的點和利用平面的法向量來解決直線在平面上的投影問題。通過計算和化簡，我們可以得到所求直線的方程。這種方法不僅適用于這個問題，還可以應用于其他類似的幾何問題。在解題過程中，我們利用了向量的基本運算，如點乘和叉乘，以及線性方程的化簡技巧。這些方法在解析幾何和線性代數中是非常基礎且重要的。通過這種方法，我們不僅能夠找到直線在平面上的投影，還能夠加深對向量和線性方程的理解。