阿基米德在數學領域的杰出貢獻包括以下幾個方面：1. 圓的面積和體積計算：阿基米德確立了計算圓面積和體積的方法。他推導出圓的面積與其直徑的比例關系，即面積等于π乘以半徑的平方。這一發現對于后來數學的發展產生了深遠影響，成為數學幾何學中的基本公式之一。2. 無窮級數的應用：阿基米德將無窮級數的概念用于逼近數學常數，如圓周率π和自然對數的底數e。他的這一方法為數值計算領域奠定了基礎，并對后世數學家在極限理論方面的工作產生了重要影響。3. 微積分學的先驅：雖然微積分的正式體系是在阿基米德之后幾個世紀由牛頓和萊布尼茨建立的，但阿基米德通過研究物體重心的變化，實際上已經涉及到了現代微積分中的積分概念。他使用了一種原始的積分方法來求解物體的體積，這可以被視為微積分學的早期形式。阿基米德對數學的貢獻不僅限于以上幾點，他還對數學分析、數論等領域有所貢獻，并且他的工作方法體現了將數學應用于實際問題的科學精神。