為了將二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+5x_2^2-4x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3\) 化為標(biāo)準(zhǔn)型，我們首先寫出該二次型的矩陣形式。該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：\[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}\]接下來(lái)，我們進(jìn)行一系列初等變換，逐步將矩陣 \(A\) 化為對(duì)角矩陣。首先，我們進(jìn)行行變換：\(r_2-r_1, r_3+2r_1\)，得到矩陣：\[A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & -8 \end{pmatrix}\]繼續(xù)進(jìn)行行變換，將矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化：\(r_3-(1/2)r_2\)，得到矩陣：\[A'' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}\]接下來(lái)，我們對(duì)矩陣進(jìn)行列變換，逐步將矩陣化為對(duì)角矩陣。首先，將矩陣 \(A''\) 的第一列和第二列交換：\(c_1 \leftrightarrow c_2\)，得到矩陣：\[A''' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}\]繼續(xù)進(jìn)行列變換，將矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化：\(c_2-4c_1\)，得到矩陣：\[A'''' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}\]最后，將矩陣 \(A''''\) 的第二列和第三列交換：\(c_2 \leftrightarrow c_3\)，得到矩陣：\[A''''' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -9 & 2 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}\]至此，我們已經(jīng)得到了一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)應(yīng)的二次型標(biāo)準(zhǔn)型為：\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_1x_3-9x_2^2-4x_3^2\)。為了寫出相應(yīng)的可逆變換，我們觀察每一步的行變換和列變換，可以得到變換矩陣。最終，可逆變換矩陣 \(P\) 為：\[P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]通過(guò)計(jì)算，可以驗(yàn)證變換矩陣 \(P\) 的逆矩陣 \(P^{-1}\) 為：\[P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]因此，經(jīng)過(guò)變換后，二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 可以寫成標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)應(yīng)的可逆變換為 \(x = Py\)。綜上所述，二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 可以通過(guò)上述變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，并且相應(yīng)的可逆變換矩陣為 \(P\)。