考慮五次方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 的實根個數問題，我們首先通過換參數的方式，令 a=5/b，將原題轉化為新的形式。當 b>0 時，我們觀察新方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 的特性。設函數 f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1)，通過求導得到 f'(x)=5(b^2+6b+25)x^4-5b。由 f'(x)=0 可求得 f(x) 的極大值條件，即 x=-[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)，此時 f(x) 的極大值為 4b[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)-b(b+1)。接下來，我們證明不等式 b+1≥4[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)。經過一系列推導和變形，最終可轉化為 (b^3+5b^2+15b-5)^2≥0，這是一個顯然成立的不等式。現在，我們確定實根個數。由于 f(x) 的極大值 f(x1)≤0，我們可以分兩種情況討論：① 當 b^3+5b^2+15b-5=0，即 b≈0.3 時，函數 f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1) 有一個二重實零點和 一個一重實零點。這意味著五次方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 有一個二重實根和一個一重實根。② 當 b≠-5/3-(2/3)(15√6-35)^(1/3)+(2/3)(15√6+35)^(1/3) 時，函數 f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1) 只有一個一重實零點。這意味著五次方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 只有一個單實根。綜上所述，我們根據 b 的取值范圍，確定了五次方程的實根個數。這一結論為我們進一步研究和解決類似問題提供了有力的數學工具和方法。