給定的問題是關于求解兩個自然數a和b，使得它們的平方和等于一個給定的數1977，并且滿足特定的條件。首先，我們設q2 + r = 1977，其中q和r是整數，且r在1到a+b之間。由題意知a2 + b2 = q(a + b) + r。為了找到a和b的解，我們需要將這些方程結合起來。從第一個方程中解出r，代入第二個方程，我們得到一個關于q、a和b的二次方程。由于q是實數，這個方程的判別式必須大于等于0。通過一系列代數操作，我們得到3a2 - 2ab + 3b2 - 4×1977 ≤ 0。這個不等式必須有一個實數解，因此它的判別式也必須大于等于0。經過進一步計算，我們得到b ≤ 54，同理a也≤ 54。接下來，我們利用這些限制條件來找出滿足條件的a和b。由于ra + b ≤ 108，我們可以推斷出q2 = 1977 - r > 1869。這意味著q的取值范圍在43到45之間，因為只有44的平方在1869和1977之間。當q = 44時，我們可以解出r = 41。將r的值代入a2 + b2 = q(a + b) + r，我們得到一個新的方程(a - 22)2 + (b - 22)2 = 1009。由于1009是一個完全平方數，其個位數只能是0, 1, 4, 5, 6, 或9?？紤]到兩個完全平方數相加得到1009，這兩個數的末尾數字只能是0, 4, 5, 或9。進一步分析，當a - 22的末尾為0時，b - 22的末尾只能為3或7；而當a - 22的末尾為2或8時，b - 22的末尾只能是5。結合a和b的取值范圍（0 < a ≤ 54, 0 < b ≤ 54），我們可以驗證出有四組解：(a, b) = (37, 50), (50, 37), (7, 50), (50, 7)。