函數f(x)在區間E上的定義是，若對于所有x屬于E，存在兩個常數m和M，滿足m≤f(x)≤M，那么我們稱f(x)為區間E上的有界函數。這里，m代表f(x)在區間E上的下界，而M則代表上界。有界函數的定義表明，為了確定一個函數是否為有界函數，必須同時存在一個下界和一個上界。也就是說，f(x)的值必須被限制在m和M之間，確保了函數值的范圍不會無限擴大或縮小。但是，如果一個函數僅僅擁有上界或下界，那么它是否可以被認為是無界的呢？從數學定義的角度來看，僅有上界或下界并不足以證明函數是無界的。無界的函數意味著函數值可以無限增大或無限減小，但這需要在區間E上的任意x值，f(x)的值都能夠趨向于無窮大或無窮小。因此，僅憑一個上界或下界的存在，不足以斷定函數f(x)是無界的。如果一個函數僅有上界，意味著f(x)不會低于某個值m，但它仍可能無限接近于m或在m之上波動，而不一定就是無界的。同樣，如果一個函數僅有下界，那么f(x)不會超過某個值M，也可能無限接近于M或在M之下波動，同樣不足以證明其為無界。無界的函數通常指的是在某個區間內，函數值可以無限趨向于無窮大或無窮小，而不僅僅是存在一個單一的上界或下界。因此，要判斷一個函數是否為無界，需要更詳細地分析函數在整個定義域內的行為，而不僅僅是依賴于它是否擁有上界或下界。