三角形五心包括重心、外心、垂心、內心和旁心。五心定理是指這五個特殊點相關的幾何性質的總稱。1. 重心：三角形的三條中線交于一點，這個點稱為重心。重心的性質包括： - 重心到每個頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。 - 重心到三角形每個頂點的距離的平方和最小。 - 重心是三角形三個頂點坐標的算術平均數。2. 外心：三角形外接圓的圓心稱為外心。外心的性質包括： - 三角形的三條邊的垂直平分線交于外心。 - 外心到三角形三個頂點的距離相等。 - 外心在銳角三角形內部，鈍角三角形外部，直角三角形斜邊上，與斜邊中點重合。3. 垂心：三角形的三條高交于一點，這個點稱為垂心。垂心的性質包括： - 垂心到三角形每個頂點的距離是外心到此頂點對邊距離的兩倍。 - 垂心將每條高分為兩部分，兩部分乘積相等。4. 內心：三角形內切圓的圓心稱為內心。內心的性質包括： - 三角形的三條內角平分線交于內心。 - 內心到三角形每條邊的距離相等。5. 旁心：與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為旁心。旁心的性質包括： - 旁心到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等。以上是對三角形五心的性質的描述，每一條性質都有其獨特的幾何意義和應用。詳情