在探討這個數學問題時，我們先給出最終的答案：極限值為2/3。這個問題的核心在于如何處理根號的和除以n倍根號n的形式。如果我們直接將整個和式除以n倍根號n，那么隨著n趨于無窮大，結果將接近于0，這顯然沒有多少意義。

為了更深入地理解這個問題，我們可以采用一種更為嚴謹的方法進行求解。首先，考慮將根號的和表示為一個連續函數的積分近似。通過這種方法，我們可以將離散的和式轉化為連續的積分表達式，進而簡化求解過程。

具體來說，設S_n為根號1到根號n的和，即S_n = √1 + √2 + √3 + ... + √n。我們希望求出S_n / (n * √n) 當n趨于無窮大時的極限。

為了將S_n表示為連續函數的積分近似，我們可以考慮將S_n視為從1到n的函數f(x) = √x在區間[1, n]上的黎曼和。利用積分的概念，我們可以將S_n近似表示為定積分∫1n √x dx。

接下來，我們需要計算這個定積分。通過換元法，設u = √x，則x = u2，dx = 2u du。將這些代入定積分中，我們得到：

∫1n √x dx = ∫1√n 2u2 du = 2/3 * u3|1√n = 2/3 * (√n)3 - 2/3 = 2/3 * n3/2 - 2/3。

接下來，我們回到原問題，將這個結果除以n倍根號n，即(2/3 * n3/2 - 2/3) / (n * √n) = (2/3 * n3/2 - 2/3) / (n3/2) = 2/3 - 2/(3 * n1/2)。隨著n趨于無窮大，2/(3 * n1/2) 趨于0，因此最終的極限值為2/3。

這個求解過程不僅展示了數學的美妙，也體現了積分在處理極限問題時的強大工具。通過這種方法，我們不僅得到了答案，也加深了對數學概念的理解。