考慮函數g(x)=f(x)-x，我們希望證明g(x)在閉區間[a,b]上存在零點。由于f(x)的值域為[a,b]，我們可以得知a≤f(x)≤b。因此，當x=a時，g(a)=f(a)-a≥0；當x=b時，g(b)=f(b)-b≤0。根據連續函數的零點定理，我們可以得出結論，即存在一個d屬于(a,b)，使得g(x0)=f(x0)-x0=0，這意味著f(x0)=x0。進一步來說，這個定理說明了，在閉區間[a,b]內，如果函數f(x)的值域完全包含于[a,b]，那么通過定義g(x)=f(x)-x，我們就能確保g(x)在(a,b)區間內存在至少一個零點。這個結論不僅證明了f(x)與x的交點的存在性，還提供了構造性證明的方法，即通過連續函數的零點定理，能夠直接找到滿足條件的x0值。為了更好地理解這一性質，我們可以考慮一個具體的例子。假設f(x)是一個在[1,5]區間內連續的函數，且其值域也是[1,5]。這意味著對于任意的x屬于[1,5]，都有1≤f(x)≤5。如果我們定義g(x)=f(x)-x，那么g(1)=f(1)-1≥0，g(5)=f(5)-5≤0。根據連續函數的零點定理，我們能夠確定，在(1,5)區間內，必存在一個x0，使得g(x0)=0，也就是f(x0)=x0。這一性質的應用非常廣泛，尤其是在解決實際問題時。例如，在經濟學領域，我們可以利用這一性質來尋找最優解。假設一個企業的成本函數C(x)在生產量x屬于[100,200]區間內是連續的，且其值域也是[100,200]。如果我們定義g(x)=C(x)-x，那么根據上述定理，我們能夠確定在(100,200)區間內存在一個生產量x0，使得C(x0)=x0。這個x0值就是企業實現最小成本的生產量。此外，這一性質在數學分析中也有重要應用。通過這一性質，我們可以證明許多關于函數的基本定理。例如，它可以用來證明介值定理，即在一個閉區間內的連續函數，如果函數值在該區間的端點值之間，則該函數在該區間內取遍該區間內的所有值。